Los números cuya suma se indica en una notación sigma
pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la
suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.
Dada una sucesión: 
Ésta se puede representar como la suma de los primeros términos con la notación de
sumatoria o notación sigma. El nombre de esta
notación se denomina de la letra griega 
(sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma”). La notación sigma es de la siguiente manera: 
(sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma”). La notación sigma es de la siguiente manera:
La ecuación anterior se lee la "suma de
desde
hasta
." La tetra
k es el índice de la suma o variable de la sumatoria y
se reemplaza k en la ecuación después de sigma, por los enteros
, y se suman las expresiones
que resulten, con lo que resulte del lado derecho de la ecuación.
desde hasta." La tetra
k es el índice de la suma o variable de la sumatoria y
se reemplaza k en la ecuación después de sigma, por los enteros, y se suman las expresiones
que resulten, con lo que resulte del lado derecho de la ecuación.
DATOS NO AGRUPADOS
1.- Su
fin es resumir la información.
2.- Generalmente, los elementos son de mayor tamaño, por lo cual requieren ser agrupados, esto implica: ordenar, clasificar y expresar los en una tabla de frecuencias.
3.- Se agrupa a los datos, si se cuenta con 20 o más elementos. Aunque contemos con más de 20 elementos, debe de verificarse que los datos n sean significativos, Esto es: que la información sea “repetitiva”, también debemos de verificar que los datos puedan clasificarse. Y que dicha clasificación tiene coherencia y lógica (de acuerdo a lo que se nos esta pidiendo) .
Una vez que ya hemos ordenado y clasificado, presentaremos la información obtenida mediante una”tabla de frecuencias”
2.- Generalmente, los elementos son de mayor tamaño, por lo cual requieren ser agrupados, esto implica: ordenar, clasificar y expresar los en una tabla de frecuencias.
3.- Se agrupa a los datos, si se cuenta con 20 o más elementos. Aunque contemos con más de 20 elementos, debe de verificarse que los datos n sean significativos, Esto es: que la información sea “repetitiva”, también debemos de verificar que los datos puedan clasificarse. Y que dicha clasificación tiene coherencia y lógica (de acuerdo a lo que se nos esta pidiendo) .
Una vez que ya hemos ordenado y clasificado, presentaremos la información obtenida mediante una”tabla de frecuencias”
DATOS AGRUPADOS
Los datos agrupados significan que hay menos
datos con los cuales trabajar y mis estadísticas serán aproximadas.
Los datos agrupados se refieren al hecho de que estén ordenados, clasificados y contados
Distribución o tabla de frecuencias
Para agrupar u organizar un conjunto de datos se construye una tabla llamada tabla de frecuencias o distribución de frecuencias simple.
El primer paso para organizar los datos consiste en identificar el tipo de datos que se tienen, los cuales pueden ser cualitativos o cuantitativos.
Cuando los datos corresponden a valores cualitativos se clasifican en varias clases o categorías, que corresponden a las cualidades, valores o atributos obtenidos de cada elemento, después se efectúa una tabulación, es decir, se realiza un conteo de los elementos, que pertenece a cada clase o categoría. Para llevar un orden y no omitir algún valor, se asigna una columna para la tabulación y se coloca una marca para cada elemento de la muestra o población, donde corresponda su categoría.
Los datos agrupados se refieren al hecho de que estén ordenados, clasificados y contados
Distribución o tabla de frecuencias
Para agrupar u organizar un conjunto de datos se construye una tabla llamada tabla de frecuencias o distribución de frecuencias simple.
El primer paso para organizar los datos consiste en identificar el tipo de datos que se tienen, los cuales pueden ser cualitativos o cuantitativos.
Cuando los datos corresponden a valores cualitativos se clasifican en varias clases o categorías, que corresponden a las cualidades, valores o atributos obtenidos de cada elemento, después se efectúa una tabulación, es decir, se realiza un conteo de los elementos, que pertenece a cada clase o categoría. Para llevar un orden y no omitir algún valor, se asigna una columna para la tabulación y se coloca una marca para cada elemento de la muestra o población, donde corresponda su categoría.
MEDIDAS
DE TENDENCIA CENTRAL Y DE POSICION.
Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es
conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para
tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización.
Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos
parámetros dentro de la distribución, independientemente de que ésta esté más o
menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición. En
este caso se incluyen también los cuantiles entre estas medidas. Se debe tener en cuenta que existen
variables cualitativas y variables cuantitativas, por lo que las medidas de posición o medidas de tendencia se
usan de acuerdo al tipo de variable que se está observando, en este caso se
observan variables cuantitativas.
Entre las
medidas de tendencia central tenemos:
Media aritmética.
Se le llama también promedio o,
simplemente, media. Es el valor obtenido por la
suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos.
Dado un conjunto numérico de datos, x1, x2,..., xn, se define su
media aritmética como:
1
Esta definición varía, aunque no sustancialmente, cuando
se trata de variables
continuas, esto es, también puede calcularse para variables
agrupadas en intervalos.
Las principales propiedades de la media aritmética son:
Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los
datos.
• Su valor es único para una serie de datos dada.
• Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque
es más apropiado acompañarla de una medida de dispersión.
Media ponderada.
Es apropiada cuando en un conjunto de
datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa (o peso) respecto de los
demás datos. Se obtiene del cociente entre la suma de los productos de cada
dato por su peso o ponderación y la suma de los pesos.
Para una serie de datos no vacía
A la que corresponden los pesos
La media ponderada se calcula como:
Media geométrica.
La media geométrica de una cantidad arbitraria de números
(por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números, es recomendada para datos
de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices.
Propiedades:
• El logaritmo de la media geométrica es
igual a la media aritmética de los logaritmos de los
valores de la variable.
• La media geométrica de un conjunto
de números positivos es siempre menor o igual que la media aritmética:
Media armónica.
Denominada H, de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso,
de la media
aritmética de los
recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.
Así, dados n números x1, x2,..., xn la media armónica será igual a:
La media armónica resulta poco influida
por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de
los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el
conjunto.
Propiedades:.
• La inversa de la media armónica es
la media aritmética de los inversos de los valores de la variable.
• Siempre se puede pasar de una media
armónica a una media aritmética transformando adecuadamente los datos.
• La media armónica siempre es menor o
igual que la media aritmética, ya que para cualesquiera números reales
positivos :
Mediana.
Representa el valor de la variable de
posición central en un conjunto de datos ordenados. De acuerdo con esta
definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán
el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el
otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil. Su cálculo no se ve
afectado por valores extremos.
Es el valor medio en un conjunto de
valores ordenados. Si existen 2 valores medios, estos se suman y se dividen
entre dos.
Moda.
Es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de
datos.
Hablaremos de una distribución bimodal de los datos
adquiridos en una columna cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que
tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Una distribución trimodal de los
datos es en la que encontramos tres modas. Si todas las variables tienen la
misma frecuencia diremos que no hay moda.
Sus
principales propiedades son:
• Cálculo sencillo.
• Interpretación muy clara.
• Al depender sólo de las frecuencias,
puede calcularse para variables
cualitativas.
Es por ello el parámetro más utilizado cuando al resumir una población no es
posible realizar otros cálculos, por ejemplo, cuando se enumeran en medios
periodísticos las características más frecuentes de determinado sector social.
Esto se conoce informalmente como "retrato robot".
Entre las
medidas de posición tenemos:
Percentiles.
Los
Percentiles son los 99 valores que dividen en 100 partes iguales
a una serie de puntuaciones
ordenadas, de forma que el percentil Pm deja por
debajo de sí el m por ciento de las puntuaciones del grupo.
A cada una de estas cien partes en las que se dividen
las puntuaciones también las podemos llamar centil (cm.).
¿CÓMO LOS CALCULAMOS?
Si
los datos aparecen agrupados por intervalos, bastará ordenarlos
y determinar cuántas puntuaciones representan el m por ciento
de la distribución. Una vez determinada esta
cantidad, localizaremos en la serie ordenada cuál es la puntuación
que deja por debajo de sí a ese número de puntuaciones.
En el
caso en que los datos aparecen agrupados por intervalos,
emplearemos la siguiente expresión, que nos permitirá
calcular un percentil cualquiera:
L1: es
el límite inferior del intervalo crítico (intervalo donde
estará contenido el percentil).
I: es
la amplitud de los intervalos.
fa:
es la frecuencia acumulada del intervalo anterior al
intervalo crítico.
n: es
el número de casos.
fi:
es la frecuencia absoluta del intervalo crítico.
La
expresión m ∙ n/100 representa el número de
puntuaciones que quedarían por debajo del percentil m en
la distribución estudiada. El intervalo crítico es
precisamente aquel donde la frecuencia acumulada alcanza
o supera ese número de puntuaciones.
Deciles.
Si dividimos una serie de
puntuaciones en diez partes, cada una de las puntuaciones que limitan las
partes se denomina decil (Dm). La escala de deciles va desde el D1 al D9.
Definiremos un decil (Dm) como aquel valor numérico que deja por debajo de sí m
décimas partes del total de puntuaciones.
¿Cómo los calculamos?
Para calcularlos seguimos la
siguiente expresión:
Donde:
Li: es el límite inferior del
intervalo crítico (que contiene a Dm)
I: es la amplitud de los
intervalos.
fi: es la frecuencia absoluta
del intervalo crítico.
n: es el número de casos.
fa: es la frecuencia acumulada
en el intervalo anterior al intervalo
Crítico.
Cuartiles.
Los cuarteles son los 3
valores que dividen en cuatro partes a una serie de puntuaciones ordenadas, de
manera que el cuartel Qm deja por debajo de sí m cuartas partes del total de
puntuaciones del grupo.
¿Cómo los calculamos?
La siguiente expresión nos
permitirá calcular dichos cuarteles:
MEDIDAS
DE DISPERCION
Las
medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la
variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las
diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la mediana media.
Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más
homogénea será a la mediana media. Así se sabe si todos los casos son parecidos
o varían mucho entre ellos.
Para
calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se
calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media
aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se
adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las
desviaciones en valor absoluto (Desviación media) y otra es tomando las
desviaciones al cuadrado (Varianza).
Varianza
La
varianza es una medida estadística que mide la dispersión de los valores
respecto a un valor central (media), es decir, es el cuadrado de las
desviaciones:
Propiedades
La
varianza es siempre positiva o 0: 
Si a
los datos de la distribución les sumamos una cantidad constante la varianza no
se modifica.
Si a
los dato de la distribución los multiplicamos una constante, la varianza queda
multiplicada por el cuadrado de esa constante.
Propiedad
distributiva:
cov 
cov
Desviación típica
La
varianza a veces no se interpreta claramente, ya que se mide en unidades
cuadráticas. Para evitar ese problema se define otra medida de dispersión, que
es la desviación típica, o desviación estándar, que se halla como la raíz cuadrada
positiva de la varianza. La desviación típica informa sobre la dispersión de
los datos respecto al valor de la media; cuanto mayor sea su valor, más
dispersos estarán los datos. Esta medida viene representada en la mayoría de
los casos por S, dado que es su inicial de su nominación en inglés.
Desviación típica muestra
Desviación típica poblacional
Covarianza
La
covarianza entre dos variables es un estadístico resumen indicador de si las puntuaciones
están relacionadas entre sí. La formulación clásica, se simboliza por la letra
griega sigma (σ) cuando ha sido calculada en la población. Si se obtiene sobre
una muestra, se designa por la letra "
La
formula suele aparecer expresada como:
Este
tipo de estadístico puede utilizarse para medir el grado de relación de dos
variables si ambas utilizan una escala de medida a nivel de intervalo/razón
(variables cuantitativas).
La
expresión se resuelve promediando el producto de las puntuaciones diferenciales
por su tamaño muestra (n pares de puntuaciones, n-1 en su forma intestada).
Este
estadístico, refleja la relación lineal que existe entre dos variables. El
resultado numérico fluctúa entre los rangos de +infinito a -infinito. Al no
tener unos límites establecidos no puede determinarse el grado de relación
lineal que existe entre las dos variables, solo es posible ver la tendencia.
Coeficiente de Correlación de Pesaron
El
coeficiente de correlación de Pesaron, r, permite saber si el ajuste de la nube
de puntos a la recta de regresión obtenida es satisfactorio. Se define como el
cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas (raíz
cuadrada de las varianzas).
Teniendo
en cuenta el valor de la covarianza y las varianzas, se puede evaluar mediante
cualquiera de las dos expresiones siguientes:
|
|
|
MEDIDAS DE FORMA
Es
una medida de forma de una distribución que permite identificar y
describir la manera como los datos tiende a reunirse de acuerdo
con la frecuencia con que se hallen dentro de la distribución. Permite
identificar las características de la distribución de datos sin necesidad de
generar el gráfico.
La
curtosis mide el grado de agudeza o achatamiento de una distribución con
relación a la distribución normal, es decir, mide cuán puntiaguda es una
distribución.
TABLA DE FRECUENCIA
Cuando se han recogido los datos correspondientes a
una variable estadística, hay que tabularlos; es decir, hay que confeccionar
con ellos una tabla en la que aparezcan ordenadamente:
- Los valores de la variable que se está estudiando.
- El número de individuos de cada valor; es decir, su frecuencia.
La frecuencia
absoluta es el número de veces que se presenta un valor al estudiar una
variable.
Para
hacer el recuento, se leen los datos uno a uno y se marca una señal en el
correspondiente valor. Si las señales se agrupan, de cinco en cinco por
ejemplo, es más fácil contarlas.
EJEMPLO:
Variable - ¿Cuántas personas viven en tu casa?
|
|
|
La
tabla de frecuencia adopta, finalmente, el siguiente aspecto:
|
VALORES
|
FRECUENCIA
|
|
2
|
2
|
|
3
|
4
|
|
4
|
8
|
|
5
|
12
|
|
6
|
3
|
|
7
|
1
|
|
|
30
|
BIBLIOGRAFIA
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